ISBN: 9780267374533

Paperback, [PU: Forgotten Books], Excerpt from Einleitung in die Theorie der Bestimmten Integrale Durch die allgemeine Definition des bestimmten Integrales, welche Riemann seinen Unter su… Mehr…

Paperback, [PU: Forgotten Books], Excerpt from Einleitung in die Theorie der Bestimmten Integrale Durch die allgemeine Definition des bestimmten Integrales, welche Riemann seinen Unter suchungen über die Fourier'sche Reihe voraufgeschickt hat und durch Miflheilungen welche Schüler des Herrn Weierstrass aus dessen Vorlesungen gemacht haben, hat die Discussion der Principien der Infinitesimalrechnung einen lebhafieren Anstoss in mathematischen Kreisen erhalten und es sind hierdurch Untersuchungen herbeigeführt, durch welche jene Principien, die durch Dirichl et' 8 Arbeiten für ewig festgestt zu sein schienen, nicht unwesentliche Abänderungen erfahren haben. Es sind zwar Diri chlet's Grundlagen nicht geradezu hinfällig geworden, aber es hat sich gezeigt, dass in ihnen manchmal Voraussetzungen enthalten sind, welche der Leser übersieht, so dass er die Beweise für allgemeiner hält, als sie sind. In Bezug auf die Fourier'sche Reihe hat Dirichlet selbst die Trag weite seiner Beweise überschätzt. Der strenge Beweis des grundlegenden Satzes, dass eine stetige Function, in welcher für abnehmende h lim f(x)] h in einem Intervalle überall Null ist, in diesem Intervalle einen unabänderlichen Werth habe, auf welchen Satz die Integralrechnung auf gebaut werden muss, ist von Dirichlet gegeben, aber er findet sich, wenigstens in den von Herrn Me yer herausgegebenen Vorlesungen, mehr gelegentlich an einer Stelle, an der man seine Wichtigkeit nicht vermuthet. Uebrigens sind jene Vorlesungen in Bezug auf die Integration durch Reihen und auf die Zulässigkeit der Differentiation unter dem Integralzeichen von wirklichen Irrthflmern in den Prin cipien nicht ganz frei. Diese Umstände machen es, wie ich glaube, wünschenswerth, die neuem Methoden einem grösseren Publicum im Zusammenhange zugänglich zu machen, was hier versucht wird. Die nachfolgenden Bogen beschäftigen sich damit, die strenge Theorie der Quadratur und die Hilfsmittel der Auswerthung bestimmter Integrale in Kurzem zusammenzufassen. Zu diesen Hilfe mitteln gehören auch die Doppelintegrale und es musste ihnen deshalb ein Kapitel gewidmet werden, in welchem jedoch nur das Nöthigste Platz gefunden hat. Ebenso fruchtbringend für die Auswerthung von Quadraturen ist die Integration zweigliedriger Difl'erentialien, welche merkwürdiger Weise in den meisten Lehrbüchern eine sehr oberflächliche Behandlung findet. Der Beweis des Cauchy'sohen Satzes oder, was dasselbe ist, der Beweis, dass das Integral eines zwei oder mehrgliedrigen Difi'erentials bis auf eine additive Constante bestimmt sei der meist mit Hilfe der Doppelintegrale (riemann's Beweis) bewiesen wird kann mit 'denselben Mitteln geführt werden, als der für das eingliedrigc Difl'erential. Die Theorie der Integration zweigliedriger Diflerentialien hat deshalb ebenfalls in einem Kapitel Platz. About the Publisher Forgotten Books publishes hundreds of thousands of rare and classic books. Find more at www.forgottenbooks.com This book is a reproduction of an important historical work. Forgotten Books uses state-of-the-art technology to digitally reconstruct the work, preserving the original format whilst repairing imperfections present in the aged copy. In rare cases, an imperfection in the original, such as a blemish or missing page, may be replicated in our edition. We do, however, repair the vast majority of imperfections successfully; any imperfections that remain are intentionally left to preserve the state of such historical works., Calculus<